운동체의 전기동역학에 대하여

운동체의 전기동역학에 대하여

Zur Elektrodynamik bewegter Körper

알베르트 아인슈타인
A.Einstein

현 시점에서 이해되는 맥스웰의 전기동역학[Elektrodynamik]이 운동하는 물체에 적용되면 현상에 내재된 것으로 보이지 않는 비대칭이 발생한다는 것이 잘 알려져 있다. 예를 들어, 자석과 도체의 전기동역학적 상호작용을 떠올려보자. 여기에서 관측가능한 현상은 오로지 도체와 자석의 상대적 움직임에만 의존한다. 그러나, 통상적 이해로는 두 물체 중 어느 하나, 혹은 다른 하나가 움직이는 두 가지 상황이 확연하게 구분된다. 자석이 움직이고 도체가 정지해 있는 상황에서, 자석 주변에는 특정 에너지 값을 갖는 전기장이 발생하여 도체의 일부가 위치한 곳에 전류가 발생한다. 하지만 자석이 정지해 있고 도체가 움직이는 경우, 자석 주위에 전기장은 발생하지 않는 대신 도체 내부에 어느 에너지에 대응되지 않는 기전력이 발생한다. 그러나, 두 상황에서 상대적인 움직임이 동일하다면 첫번째 상황에서 전기력에 의해 발생한 것과 동일한 크기, 동일한 방향의 전류가 발생하게 된다.

이와 비슷한 예시들과 "빛의 매질"에 대한 지구의 상대적 움직임을 검출하려 한 모든 실패적인 시도들을 통해, 역학에서뿐만 아니라 전기동역학에서도 절대 정지의 개념에 대응되는 일체의 성질을 갖는 현상은 존재하지 않으며, 역학 방정식이 유효한 모든 좌표계에서 동일한 전기동역학과 광학 법칙이 성립할 것이라는 추측을 할 수 있다. 이는 이미 일차항 수준에서는 증명된 사실이다. 우리는 이 추측(앞으로 상대성 원리라고 부를 것이다.)을 가설로 설정하고, 이에 더하여, 겉보기에 전자와 양립하지 않는 것으로 보이는, 진공에서 빛이 광원의 운동상태에 관계 없이 언제나 정해진 속도 $V$로 전파된다는 가설을 도입하기로 한다. 이 두 가설은 정지 물체에 관한 맥스웰 이론을 기반으로 운동 물체에 관한 간단하고 일관적인 전기동역학에 도달하는 데 충분하다. "에테르"의 도입은 불필요한 것으로 밝혀질 것이며, 이는 이곳에서 구축하려는 개념에 따르면 특별한 성질을 갖는 "절대 정지한 공간"이나 전자기 과정이 일어나는 빈 공간의 각 점에 부여되는 속도 벡터 모두 도입되지 않을 것이라는 데서 비롯된다.

다른 모든 전기동역학처럼, 여기에서 구축하려는 이론 또한 강체의 운동학에 의존하고 있는데, 각각의 이론이 하는 주장은 모두 강체(좌표계), 시계 그리고 전자기 과정 사이의 관계를 다루기 때문이다. 이러한 상황에 대한 충분치 못한 고려가, 운동체의 전기동역학이 현 시점에서 고심하는 난관들의 근원이라 하겠다.

I. 운동학 편.

§1. 동시성의 정의.

뉴턴의 역학 방정식이 성립하는 한 좌표계를 생각하자. 앞으로 도입될 좌표계들과의 표현 구분 및 정확성을 위해서 이 계를 “정지계”[ruhende System]라 표기할 것이다.

한 질점이 이 좌표계에 대하여 정지해 있다면, 전자의 후자에 대한 위치는 유클리드 기하학의 방법을 기반으로 측정 강체 막대를 이용하여 알아낼 수 있으며 데카르트 좌표계 상에서 표현될 수 있다.

한 질점의 “운동”을 기술하고 싶을 경우, 우리는 그 좌표의 값을 시간의 함수로 준다. 그러나, 한가지 명심해야 할 것은 이러한 수학적 기술이 물리적 의미를 가지려면, 먼저 여기에서 “시간”이 어떻게 이해되는 것인지 분명히 해야 한다는 것이다. 우리는 시간과 관련된 우리의 모든 명제들이 언제나 “동시적 사건”에 관한 명제임을 상기해야 한다. 예를 들어, 만약 내가 “기차가 이곳에 7시에 도착한다”라 말할 경우, 이는 정확히 “내 시계 바늘이 7을 가리키는 것과 기차가 도착하는 것이 동시 사건이다”라는 것을 의미한다.^[1]

“시간”의 정의와 관련된 모든 어려움은 “내 시계의 시계바늘 위치”로 “시간”을 대체함으로써 극복될 수 있는 것처럼 보일 수 있다. 그러한 정의는 시간이 전적으로 시계가 위치한 장소에서만 정의되어야 할 경우에는 실제로 충분하다. 그러나 다른 위치에서 일어나는 여러 사건들이 일시에 연결되거나 (동일한 의미가 되는) 시계로부터 떨어진 장소에서 일어나는 사건들이 일시에 측정되어야 하는 순간 이 정의는 불충분한 것이 된다.

다만 우리는 사건의 시간을 측정함에 있어서 시계를 지닌 관찰자를 좌표계 원점에 고정시켜, 빈 공간을 통해 그에게 도달하여 그가 측정코자 하는 사건을 증명하는 각각의 빛 신호에 대응하는 시계 바늘 위치를 배정토록 하는 것으로 스스로 만족할 수도 있을 것이다. 하지만 우리가 경험적으로 알고 있듯, 그러한 배정은 그것이 시계를 지닌 관찰자의 위치에 독립적이지 않다는 단점이 있다. 우리는 다음 고려사항을 통해 더욱 타당한 방식에 도달할 수 있다.

공간 상의 점 $A$에 어떤 시계가 위치해 있으면, $A$에 위치한 관찰자가 $A$에 바로 인접한 사건들의 시간을 측정하기 위해서는 이 사건들과 동시인 시계 바늘의 위치를 찾으면 된다. 한편 점 $B$에도 시계가 있으면("$A$에서의 것과 정확히 동일하게 구성된 시계"임을 단서로 달아야 한다), $B$에 바로 인접한 사건들의 시간은 $B$에 위치한 관찰자에 의해 동일한 방법으로 측정될 수 있다. 하지만 $A$에서의 사건과 $B$에서의 사건의 시간을 비교하기 위해서는 추가적인 규정이 있지 않으면 안된다. 여태까지 우리는 "$A$-시간"과 "$B$-시간"만 정의했지 $A$와 $B$에 공통적인 "시간"은 정의하지 않았다. 후자는 이제 정의 상 빛이 $A$에서 $B$로 날아가는 데 필요한 "시간"이 $B$에서 $A$로 날아가는 데 필요한 "시간"과 동일하도록 함으로써 알아낼 수 있다. 한 광선을 가정하여 $A$에서 $B$를 향해 "$A$-시간" $t_{A}$에 출발하고, $B$에서 $A$를 향해 "$B$-시간" $t_{B}$에 반사되어 $A$에 "$A$-시간" $t'_{A}$에 도달한다고 하자. 두 시계는

$t_{B}-t_{A}=t'_{A}-t_{B}$

일 경우 동기화되어 있다고 정의한다.

우리는 이러한 동기화의 정의가 모순적이지 않고, 임의로 많은 점에서도 그러하며, 따라서 다음 관계가 일반적으로 유효하다고 가정한다:

1. $B$의 시계가 $A$의 시계와 동기화되어 있으면, $A$의 시계는 $B$의 시계와 동기화되어 있다.

2. $A$의 시계가 $B$ 및 $C$의 시계와 동기화되어 있으면, $B$와 $C$의 시계 역시 서로에 대해 동기화되어 있다.

몇 가지 (가상의) 물리적인 경험의 도움으로, 이렇게 우리는 다른 장소에 놓인, 정지한 시계가 동기화되어 있다는 것의 의미를 규정하였으며 이로써 명백히 "동시성"과 "시간"의 정의를 얻었다. 사건의 "시간"은 사건이 벌어진 장소에 위치한 정지 시계가, 모든 시각 확인에 대하여 특정한 정지 시계와 동기화된 상태에서, 사건과 동시적으로 가리키는 눈금값이다.

경험에 기반하여, 우리는 또한

${\frac {2{\overline {AB}}}{t'_{A}-t_{A}}}=V$

가 보편적인 상수라고 가정한다(빈 공간에서의 광속).

우리가 정지계에 정지해 있는 시계를 통해 시간을 정의했다는 것은 매우 중요한 사실이다; 이것이 정지계에 속하므로, 방금 정의된 시간을 "정지계의 시간"으로 지명한다.

§2. 길이와 시간의 상대성에 대하여.

다음 고려는 상대성 원리와 광속 불변의 원리를 바탕에 두며, 두 원리는 다음과 같이 정의한다:

1. 어떤 물리계의 상태 변화를 지배하는 법칙은 이러한 상태 변화를 표현하는 두 좌표계가 서로에 대해 균일 병진 운동을 할 경우 어느 계를 선택하느냐에 의존하지 않는다.

2. 각각의 광선은 "정지한" 좌표계에서 정해진 속도 $V$로 운동하며, $V$는 광선이 정지한 물체 혹은 운동하는 물체에서 방출되는지와는 독립적이다. 여기에서,

속도 $=$ 빛의 경로/시간 간격

이며 "시간 간격"은 §1에서 정의된 방식으로 이해해야 한다.

정지한 강체가 하나 있어서, 마찬가지로 정지한 측정 막대를 이용해 잰 길이가 $l$이라 하자. 이제 막대의 축이 정지 좌표계의 $X$축을 따라 놓인 상태에서, 막대가 $X$축을 따라 $x$가 증가하는 방향으로 균일한 평행 병진 운동(속도 $v$)을 한다고 상상해보자. 이제 운동하는 막대의 길이를 구하려고 하는데, 이는 다음 두 가지 작업에 의해 얻을 수 있다고 생각할 수 있다.

(a) 관찰자는 앞서 언급된 측정 막대 및 측정될 막대와 함께 움직이면서, 측정하려는 막대와 관찰자, 그리고 측정 막대가 정지했을 때와 동일한 방식으로 막대의 길이를 직접 측정한다.

(b) 정지계에 설치되어 §1에서의 방식으로 동기화된 정지 시계를 사용하여, 관찰자는 주어진 시간 $t$에 측정 대상 막대의 시작점과 끝점이 발견되는 정지계 상의 점을 알아낸다. 이전에 사용한 (이번 경우에는 정지한) 막대를 이용해 측정한 두 점 사이의 거리 또한 길이이며, "막대의 길이"라 둘 수 있다.

상대성 원리에 의해, 작업 (a)로 찾게 될 길이, 즉 우리가 "운동계에서의 막대의 길이"라 부르는 것은 반드시 정지한 막대의 길이 $l$과 같아야 한다.

우리는 작업 (b)로 찾게 될 길이, 즉 우리가 "정지계에서의 (운동하는) 막대의 길이"라 부르는 것을 두 가지 원리에 기반하여 알아내고, 이것이 $l$과 다르다는 것을 확인할 것이다.

통상 사용되는 운동학은 암묵적으로 두 방법으로 구한 길이가 정확히 똑같다, 혹은 다른 말로 하면 시각 $t$에서 운동하는 강체는 기하학을 준수하는 한, 특정 위치에 "정지해 있는" 동일한 물체로 완벽히 대체할 수 있다고 가정한다.

또한, 막대의 두 끝($A$와 $B$)에 정지계의 시계와 동기화된 시계가 설치되어 있다고, 즉 시계들이 차지하는 위치에서 그 눈금값이 언제나 "정지계의 시간"에 대응된다고 생각한다. 따라서, 이 시계들은 "정지계와 동기화되어 있다".

더 나아가, 각 시계는 그와 함께 움직이는 관찰자가 있으며 이 관찰자들은 두 시계에 §1에서 구축한 동기화의 기준을 적용한다고 하자. 광선이 시간^[2] $t_{A}$에 $A$에서 출발하고 시간 $t_{B}$에 $B$에서 반사되어 시간 $t'_{A}$에 $A$로 돌아온다고 하자. 광속 불변 원리를 고려하면

$t_{B}-t_{A}={\frac {r_{AB}}{V-v}}$

와

$t'_{A}-t_{B}={\frac {r_{AB}}{V+v}}$

를 얻는다.

여기에서 $r_{AB}$는 움직이는 막대의 (정지계에서 측정한) 길이를 나타낸다. 움직이는 막대와 함께 움직이는 관찰자는 따라서, 정지계의 관찰자가 동기화되어 있다고 선언한 두 시계를 동기화되어 있지 않다고 볼 것이다.

따라서 우리는 동시성 개념에 절대적인 의미를 부여하면 안 된다는 것을 알 수 있으며, 특정 좌표계에서 보았을 때 동시인 두 사건은 그 계에 대하여 움직이는 계에서 보았을 때 더 이상 동시로 여길 수 없게 된다.

§3. 정지계에서 그에 대하여 균일 병진 운동하는 계로의 좌표 및 시간 변환에 관한 이론.

"정지한" 공간에 두 좌표계가 주어져 있다고 하자. 즉, 세 개의 서로 수직인 강체 물질선이 한 점으로부터 뻗어 나오는 두 계를 생각한다. 두 계의 $X$축이 일치하고, $Y$축과 $Z$축이 평행하다고 하자. 각각의 계는 강체 측정 막대와 시계가 주어져 있고, 두 계의 두 측정 막대와 모든 시계는 서로 완벽히 동일하다고 하자.

이제 두 계 중 하나인 $(k)$의 원점에 (일정한) 속도 $v$를 나머지 정지한 계 $(K)$의 $x$가 증가하는 방향으로 부여하고, 좌표축과 그에 대응하는 측정 막대, 그리고 시계에도 동일한 속도를 부여하자. 그러면 정지계 $K$의 각 시각 $t$에는 운동계의 축의 정해진 위치가 대응되며, 대칭성의 이유로 $k$의 운동이 시각 $t$에서 ("$t$"는 언제나 정지계의 시간을 나타낸다) 운동계의 축이 정지계의 축에 평행하도록 이루어진다고 정당히 가정할 수 있다.

이제 정지계 $K$에서는 정지한 측정 막대로, 그리고 운동계 $k$에서는 그와 함께 움직이는 측정막대를 이용해 공간을 측정하고, 좌표 $x,y,z$와 $\xi ,\eta ,\zeta$가 이러한 방식으로 얻어진다고 상상해보자. 또한 정지계에 대하여 정지한 시계들에 의해, 그리고 §1에서 묘사된 방식으로 빛 신호를 활용하여, 정지계의 시간 $t$를 시계가 놓인 모든 점에 대하여 구한다. 마찬가지로, 운동계의 시간 $\tau$는 운동계 속에서 정지 시계를 장착한 모든 점에 대하여, 이 시계들을 담고 있는 점들 사이에 §1에서 묘사된 빛 신호의 방법을 적용함으로써 구하게 된다.

정지계에 대하여 사건의 장소와 시각을 결정하는 $x,y,z,t$ 값으로 이루어진 모든 계에는 $k$계에 대하여 해당 사건을 고정시켜주는 $\xi ,\eta ,\zeta ,\tau$ 값으로 이루어진 어떤 계가 대응되며, 해결하려는 문제는 이 양들을 연결하는 방정식계를 찾는 것이다.

가장 먼저, 우리가 공간과 시간에 부여하는 균질성에 의해 이 방정식들이 선형이어야 함은 분명하다.

$x'=x-vt$라 두면, $k$계에서 정지한 점은 $x',y,z$의 값으로 이루어진, 뚜렷하고 시간에 독립적인 계를 지님을 알 수 있다. 우리는 먼저 $\tau$를 $x',y,z,t$의 함수로 구해낸다. 이 목적을 위해, 우리는 $\tau$가 실제로 $k$계에 정지해 있는 시계들의 (이들은 §1에서 주어진 규칙에 따라 동기화되어 있다.) 눈금값들의 총체임을 방정식으로 표현해야 한다.

시각 $\tau _{0}$에서 광선이 $k$계의 원점에서 출발하여 $X$축을 따라 $x'$까지 전송되었다가 시각 $\tau _{1}$에 그곳에서 반사되어 되돌아와 시각 $\tau _{2}$에 원점에 도착한다고 하자. 그러면 다음을 얻어야 한다:

${\frac {1}{2}}(\tau _{0}+\tau _{2})=\tau _{1}$

또는, 함수 $\tau$의 독립변수들로 풀어 쓰고 정지계에서 광속 불변의 원리를 적용하면,

${\frac {1}{2}}\left[\tau (0,0,0,t)+\tau \left(0,0,0,\left\{t+{\frac {x'}{V-v}}+{\frac {x'}{V+v}}\right\}\right)\right]$

$=\tau \left(x',0,0,t+{\frac {x'}{V-v}}\right)$

이다. 이로부터, 만약 $x'$을 무한히 작은 값으로 선택하면

${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{V-v}}+{\frac {1}{V+v}}\right){\frac {\partial \tau }{\partial t}}={\frac {\partial \tau }{\partial x'}}+{\frac {1}{V-v}}{\frac {\partial \tau }{\partial t}}$

또는

${\frac {\partial \tau }{\partial x'}}+{\frac {v}{V^{2}-v^{2}}}{\frac {\partial \tau }{\partial t}}=0$

을 얻는다.

우리는 좌표 원점 대신 아무 다른 점을 광선의 출발점으로 선택했어도 됐었으므로, 따라서 방금 유도된 방정식은 모든 $x',y,z$에 대하여 성립한다는 것에 주목한다.

($H$축과 $Z$축에) 동일한 추론을 적용하여, 정지계에서 바라보았을 때 빛이 언제나 축을 따라 $V^{2}-v^{2}$의 속도로 진행한다고 하면

${\frac {\partial \tau }{\partial y}}=0$

${\frac {\partial \tau }{\partial z}}=0$

을 얻는다. $\tau$는 선형 함수이므로, 이 방정식들은 다음을 도출한다.

$\tau =a\left(t-{\frac {v}{V^{2}-v^{2}}}x'\right)$

여기에서 $a$는 아직 알려지지 않은 함수 $\varphi (v)$이며, 간결성을 위해 $k$의 원점에서 $\tau =0$일 때 $t=0$을 얻는다고 가정한다.

이 결과를 활용하여, 우리는 (상대성 원리와 함께 광속 불변의 원리가 요구하는 대로) 빛이 운동계에서 측정했을 때에도 속도 $V$로 진행한다는 것을 방정식으로 표현함으로써 $\xi ,\eta ,\zeta$를 쉽게 알아낼 수 있다. 시각 $\tau =0$에 $\xi$가 증가하는 방향으로 방출된 광선에 대하여, 우리는

$\xi =V\tau$

또는

$\xi =aV\left(t-{\frac {v}{V^{2}-v^{2}}}x'\right)$

을 얻게 될 것이다. 하지만 정지계에서 측정했을 때 광선은 $k$의 원점에 대하여 $V-v$의 속도로 진행하므로,

${\frac {x'}{V-v}}=t$

이다. 이 $t$ 값을 $\xi$에 대한 방정식에 끼워 넣으면,

$\xi =a{\frac {V^{2}}{V^{2}-v^{2}}}x'$

을 얻는다. 유사한 방식으로, 나머지 두 축을 따라 움직이는 광선을 고려하면

$\eta =V\tau =aV\left(t-{\frac {v}{V^{2}-v^{2}}}x'\right)$

을 얻으며, 여기에서

${\frac {y}{\sqrt {V^{2}-v^{2}}}}=t;\quad x'=0$

이므로,

$\eta =a{\frac {V}{\sqrt {V^{2}-v^{2}}}}y$

및

$\zeta =a{\frac {V}{\sqrt {V^{2}-v^{2}}}}z$

이다.

만약 $x'$을 그 값으로 대체하면,

${\begin{aligned}\displaystyle \tau &=\varphi (v)\beta \left(t-{\frac {v}{V^{2}}}x\right),\\\\\xi &=\varphi (v)\beta (x-vt),\\\\\eta &=\varphi (v)y,\\\\\zeta &=\varphi (v)z\end{aligned}}$

이다. 여기에서

$\beta ={\frac {1}{\sqrt {\displaystyle 1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}$

이며, $\varphi$는 $v$의 함수로 아직 알려지지 않은 것이다. 만약 운동계의 초기 위치와 $\tau$의 영점에 관한 아무 가정도 주어지지 않으면, 이 방정식들의 우변에는 추가 상수가 더해져야 한다.

이제 우리는, 우리가 가정했듯이 정지계에서와 마찬가지로 운동계에서 측정했을 때에도 모든 광선이 $V$의 속도로 진행한다는 것을 증명해야 하며, 이는 광속 불변의 원리가 상대성 원리와 양립될 수 있다는 것을 아직 증명하지 않았기 때문이다.

시각 $t=\tau =0$에 구면파가 (해당 시점에서 공통인) 좌표 원점에서 방출되었다고 가정하고, $K$계에서 속도 $V$로 진행한다고 하자. 따라서 $(x,y,z)$가 이 파동이 도달한 어느 점일 경우, 우리는

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=V^{2}t^{2}$

을 얻을 것이다.

이 방정식을 우리의 변환 방정식을 이용해 변환하면, 간단한 계산을 거쳐

$\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=V^{2}\tau ^{2}$

을 얻는다.

따라서, 고려하는 파동은 운동계에서 관측했을 때에도 $V$의 속도로 진행하는 구면파이다. 이는 우리의 두 근본 가정이 양립할 수 있음을 증명한다.

우리가 유도한 변환 방정식은 $v$에 관한 미지의 함수 $\varphi$ 또한 포함하고 있으며, 이제 이것을 알아내고자 한다.

이 목적을 위해서 세번째 좌표계 $K'$을 도입하되, $k$계에 대하여 $\Xi$축을 따라 평행-병진 운동을 하여 그 원점이 $\Xi$축을 따라 $-v$의 속도로 움직이도록 한다. $t=0$에 세 모든 좌표 원점이 일치하도록 하고, $t=x=y=z=0$에서 $K'$계의 시간 $t'$이 $0$이라고 두자. $K'$계에서 측정한 좌표를 $x',y',z'$으로 표시하고, 우리의 변환 방정식을 두차례 적용하면,

${\begin{array}{lc}\displaystyle t'=\varphi (-v)\beta (-v)\left\{\tau +{\frac {v}{V^{2}}}\xi \right\}&=\varphi (v)\varphi (-v)t,\\\\x'=\varphi (-v)\beta (-v)\{\xi +v\tau \}&=\varphi (v)\varphi (-v)x,\\\\y'=\varphi (-v)\eta &=\varphi (v)\varphi (-v)y,\\\\z'=\varphi (-v)\zeta &=\varphi (v)\varphi (-v)z\end{array}}$

를 얻는다.

$x',y',z'$과 $x,y,z$ 사이의 관계가 시간 $t$를 포함하지 않으므로 $K$계와 $K'$계는 서로에 대해 정지해 있으며, 또한 $K$에서 $K'$로의 변환이 항등 변환임은 분명하다. 따라서,

$\varphi (v)\varphi (-v)=1$

이다. 이제 $\varphi (v)$의 의미를 살펴보자. $k$계의 $H$-축 중 $\xi =0,\eta =0,\zeta =0$과 $\xi =0,\eta =l,\zeta =0$ 사이의 부분에만 초점을 둔다. $H$-축의 해당 부분은 $K$계에 대하여, 그 축들에 수직으로 $v$의 속도로 움직이는 막대이며 그 끝은 $K$에서 좌표

$x_{1}=vt,\quad y_{1}={\frac {l}{\varphi (v)}},\quad z_{1}=0$

및

$x_{2}=vt,\quad y_{2}=0,\quad z_{2}=0$

을 가진다. $K$에서 측정한 막대의 길이는 따라서 $l/\varphi (v)$이다. 이는 함수 $\varphi$의 의미를 확고히 한다. 대칭성의 이유로, 축에 대하여 수직으로 움직이는 막대의 길이를 정지계에서 측정하면 이는 그 길이에만 의존하고 방향이나 운동하는 방식에는 의존하지 않을 것이다. 따라서, 움직이는 막대의 길이를 정지계에서 측정한 결과는 $v$를 $-v$로 대체해도 바뀌지 않는다. 이로부터

${\frac {l}{\varphi (v)}}={\frac {l}{\varphi (-v)}}$

또는

$\varphi (v)=\varphi (-v)$

에 도달한다. 이 관계와 이전에 얻은 결과로부터 $\varphi (v)$가 반드시 $1$이어야 함이 도출되며, 따라서 변환 방정식은

${\begin{aligned}\tau &=\beta \left(t-{\frac {v}{V^{2}}}x\right),\\\\\xi &=\beta (x-vt),\\\\\eta &=y,\\\\\zeta &=z\end{aligned}}$

가 된다. 여기에서

$\beta ={\frac {1}{\displaystyle {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}}$

이다.

§4. 운동하는 강체와 시계에 관한 방정식의 물리적 의미.

반지름 $R$의 강체 구를 생각하여 운동계 $k$에 대하여 정지해 있고 중심이 $k$의 원점에 놓여 있다고 하자^[3]. $K$에 대하여 $v$의 속력으로 움직이는 이 구의 표면에 관한 방정식은

$\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=R^{2}$

이다. $x,y,z$에 대하여 표현하면, $t=0$에서 이 표면 방정식은

${\frac {x^{2}}{\left(\displaystyle {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}\right)^{2}}}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$

이다. 정지 상태에서 측정했을 때 구 형태를 띠는 강체는 따라서 운동 상태에서는 (정지계에서 관찰했을 때) 다음 길이의 축을 갖는 회전 타원체의 형태를 띤다.

$R{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}},R,R$

따라서 구의 $Y$ 및 $Z$ 방향으로는 (따라서 모양을 불문하고 모든 강체 또한) 운동에 의해 크기가 변화하지 않으며, $X$ 방향 크기는 $1:{\sqrt {1-(v/V)^{2}}}$의 비율로 축소된다. 즉, $v$의 값이 클수록 수축도 커진다. $v=V$에서, 모든 운동체는 ("정지한" 계에서 관측했을 때) 평면 구조로 압축된다. 초광속에서는 우리의 고려사항이 무의미해진다. 우리는 다음 고려사항으로부터, 우리의 이론에서 광속이 물리적으로 무한히 큰 속도의 역할을 한다는 것을 확인하게 될 것이다.

"정지한" 계에 대하여 정지한 물체를 균일하게 운동하는 계에서 관측했을 때에도 동일한 결과가 적용됨은 분명하다.

더 나아가, 정지계에 대하여 정지해 있을 때 시각 $t$를 가리키고, 운동계에 대하여 정지해 있을 때 시각 $\tau$를 가리킬 수 있는 시계 중 하나가 $k$의 원점에 위치하고 시각 $\tau$를 가리키도록 설정한다고 상상해보자. 정지계에서 관측했을 때 이 시계의 흐름은 어떻게 될까?

이 시계의 위치를 알려주는 양인 $x,\,t,\,\tau$는 명백히 다음 방정식으로 엮여 있다.

$\tau ={\frac {1}{\displaystyle {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}}\left(t-{\frac {v}{V^{2}}}x\right)$

$x=vt$

따라서

$\tau =t{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}=t-\left(1-{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}\right)t$

를 얻으며, 이는 (정지계에서 보았을 때) 시계가 각 초마다 $\left(1-{\sqrt {1-(v/V)^{2}}}\right)$ 초만큼 , 혹은 $4$차항 이상의 양은 무시하면 ${\frac {1}{2}}(v/V)^{2}$초만큼 지연됨을 보여준다.

이는 다음의 특징적인 결과를 도출한다: $K$의 두 점 $A$와 $B$에 정지 시계가 위치하여 정지계에서 바라보았을 때 서로 동기화된 상태에서, $A$의 시계가 연결선을 따라 속도 $v$로 $B$로 옮겨진다면 이 시계가 $B$에 도착했을 때에 두 시계는 더 이상 동기화되어 있지 않으며, $A$에서 $B$로 옮겨진 시계는 (4차항 이상을 무시하면) ${\frac {1}{2}}tv^{2}/V^{2}$초씩, 처음부터 $B$에 줄곧 있던 시계에 비해 지연된다. 이 때 $t$는 시계가 $A$에서 $B$로 이동하는 데에 필요한 시간이다.

이 결과는 시계가 $A$에서 $B$로 임의의 꺾은선을 따라 움직이거나, 심지어 $A$와 $B$가 서로 일치하는 경우에도 성립한다는 것을 단번에 확인할 수 있다.

만약 이 결과가 꺾은선에 대하여 증명되었듯이 연속적인 곡선에 대해서도 성립한다고 가정한다면, 우리는 다음의 명제에 도달한다: $A$에 두 동기화된 시계가 있어서, 그 중 하나는 닫힌 곡선을 따라 일정한 속도로 $A$에 다시 도착할 때까지 움직여서 예를 들면 $t$초가 걸렸다고 하면, 이 시계는 $A$에 도착했을 때에 움직이지 않은 시계에 비해 ${\frac {1}{2}}t(v/V)^{2}$초만큼 지연된다. 이로부터 우리는 지구의 적도에 위치한 밸런스 휠 시계[Unruhuhr]가, 지구의 극 중 하나에 위치한 것 외에 다른 조건이 같은 동일 시계에 비해 아주 약간 느리게 흐른다는 결론을 얻는다.

§5. 속도의 덧셈 정리.

$K$ 계의 $X$축을 따라 $v$의 속도로 운동하는 $k$ 계에서 다음 방정식에 따라 운동하는 한 점이 있다고 하자.

${\begin{aligned}\xi &=w_{\xi }\tau ,\\\\\eta &=w_{\eta }\tau ,\\\\\zeta &=0\end{aligned}}$

이 때, $w_{\xi }$와 $w_{\eta }$는 상수를 나타낸다.

우리는 $K$에 대한 점의 운동을 구하고 싶다. §3에서 유도한 변환 방정식에 따라 점의 운동 방정식에 $x,y,z,t$를 도입하면,

${\begin{aligned}\displaystyle x&={\frac {w_{\xi }+v}{1+\displaystyle {\frac {vw_{\xi }}{V^{2}}}}}t\\\\\displaystyle y&={\frac {\sqrt {1-\left(\displaystyle {\frac {v}{V}}\right)^{2}}}{1+\displaystyle {\frac {vw_{\xi }}{V^{2}}}}}w_{\eta }t,\\\\z&=0\end{aligned}}$

을 얻는다. 따라서, 우리의 이론에 따르면, 속도에 관한 평행사변형 법칙은 오직 $1$차 근사로만 성립한다.

${\begin{aligned}\displaystyle U^{2}&=\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2},\\\\w^{2}&=w_{\xi }^{2}+w_{\eta }^{2},\\\\\alpha &=\arctan {\frac {w_{\eta }}{w_{\xi }}}\end{aligned}}$

라 두자. $\alpha$는 속도 $v$와 $w$ 사이의 각도로 해석해야 한다. 간단한 계산을 거쳐,

$U={\frac {\displaystyle {\sqrt {(v^{2}+w^{2}+2vw\cos \alpha )-\left({\frac {vw\sin \alpha }{V}}\right)^{2}}}}{\displaystyle 1+{\frac {vw\cos \alpha }{V^{2}}}}}$

을 얻는다. $v$와 $w$가 결과 속도에 관한 표현식에 대칭적으로 삽입됨은 주목할 만하다. 만약 $w$ 또한 $X$ 축 ($\Xi$ 축)을 향할 경우,

$U={\frac {v+w}{\displaystyle 1+{\frac {vw}{V^{2}}}}}$

를 얻는다.

이 방정식으로부터 $V$보다 작은 두 속도의 합성은 언제나 $V$보다 작은 속도를 낳는다는 결론을 얻는다. 예를 들어 $v=V-\varkappa ,\,\,w=V-\lambda$라 두고 이 때 $\varkappa$와 $\lambda$는 양수이며 $V$보다 작다면,

$U=V{\frac {2V-\varkappa -\lambda }{\displaystyle 2V-\varkappa -\lambda +{\frac {\varkappa \lambda }{V}}}}<V$

를 얻는다.

또한, 광속 $V$는 "초광속"을 합성했을 때 바뀌지 않음을 알 수 있다. 이에 대해서는

$U={\frac {V+w}{\displaystyle 1+{\frac {w}{V}}}}=V$

를 얻는다. $v$와 $w$의 방향이 같은 경우, $U$에 관한 공식은 §3에 따른 변환 두 개를 합성해서도 얻을 수 있다. §3에서 정의된 $K$ 계 및 $k$ 계에 더하여 세번째 좌표계 $k'$을 도입하여 $k$와 나란하게 운동하고 그 원점이 $\Xi$ 축을 따라 $w$의 속도로 운동하도록 한다면, 우리는 $x,y,z,t$와 그에 대응하는 $k'$의 양들 사이의 관계를 얻으며, 이는 §3에서 찾은 것과 "$v$"를

${\frac {v+w}{\displaystyle 1+{\frac {vw}{V^{2}}}}}$

로 교체했다는 점에서만 다른 것이다. 이로부터, 이러한 평행 변환이 어떤 군(group)을 형성한다는 것을 알 수 있으며, 당연히 그래야만 한다.

지금까지 우리는 두 원리에 상응하는 운동학의 명제들을 유도했으며, 이제부터는 이들을 전기동역학에 적용시켜볼 것이다.

II. 전기동역학 편.

§6. 빈 공간에서의 맥스웰-헤르츠 방정식의 변환. 자기장에서의 운동으로 발생하는 기전력의 본질에 대하여.

빈 공간에서의 맥스웰-헤르츠 방정식이 정지계 $K$에서 성립한다고 하자. 그러면 다음을 얻는다.

${\begin{array}{cc}\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial X}{\partial t}}={\frac {\partial N}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}},&\quad \quad &\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial L}{\partial t}}={\frac {\partial Y}{\partial z}}-{\frac {\partial Z}{\partial y}},\\\\\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial Y}{\partial t}}={\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial N}{\partial x}},&\quad \quad &\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial M}{\partial t}}={\frac {\partial Z}{\partial x}}-{\frac {\partial X}{\partial z}},\\\\\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial Z}{\partial t}}={\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}},&\quad \quad &\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial N}{\partial t}}={\frac {\partial X}{\partial y}}-{\frac {\partial Y}{\partial x}}\end{array}}$

여기에서 $(X,Y,Z)$는 전기장 벡터를, $(L,M,N)$은 자기장 벡터를 나타낸다.

§3에서 유도한 변환을 이 방정식에 적용하여 그곳에서 도입된 $v$의 속력으로 운동하는 좌표계에서의 전자기 과정을 고려하면 다음 방정식을 얻는다:

${\begin{array}{ccccc}\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial X}{\partial \tau }}&=&\displaystyle {\frac {\displaystyle \partial \beta \left(N-{\frac {v}{V}}Y\right)}{\partial \eta }}&-&\displaystyle {\frac {\displaystyle \partial \beta \left(M+{\frac {v}{V}}Z\right)}{\partial \zeta }},\\\\\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\displaystyle \partial \beta \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right)}{\partial \tau }}&=&\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \zeta }}&-&\displaystyle {\frac {\displaystyle \partial \beta \left(N-{\frac {v}{V}}Y\right)}{\partial \xi }},\\\\\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\displaystyle \partial \beta \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)}{\partial \tau }}&=&\displaystyle {\frac {\displaystyle \partial \beta \left(M+{\frac {v}{V}}Z\right)}{\partial \xi }}&-&\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \eta }},\\\\\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial L}{\partial \tau }}&=&\displaystyle {\frac {\displaystyle \partial \beta \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right)}{\partial \zeta }}&-&\displaystyle {\frac {\displaystyle \partial \beta \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)}{\partial \eta }},\\\\\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\displaystyle \partial \beta \left(M+{\frac {v}{V}}Z\right)}{\partial \tau }}&=&\displaystyle {\frac {\displaystyle \partial \beta \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)}{\partial \xi }}&-&\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial \zeta }},\\\\\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\displaystyle \partial \beta \left(N-{\frac {v}{V}}Y\right)}{\partial \tau }}&=&\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial \eta }}&-&\displaystyle {\frac {\displaystyle \partial \beta \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right)}{\partial \xi }}\end{array}}$

여기에서

$\beta ={\frac {1}{\sqrt {1-\left(\displaystyle {\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}$

이다.

상대성 원리는 빈 공간에서의 맥스웰-헤르츠 방정식이 $K$ 계에서 성립한다면 $k$ 계에서도 성립할 것을 요구한다. 즉, 운동계 $k$의 전기장과 자기장 벡터 ($(X',Y',Z')$과 $(L',M',N')$)을 각각 이 계에서의 전기 질량과 자기 질량에 대한 이들의 폰더모티브 효과로 정의하면, 다음 방정식을 만족시킨다.

${\begin{array}{cc}\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial X'}{\partial \tau }}={\frac {\partial N'}{\partial \eta }}-{\frac {\partial M'}{\partial \zeta }},&\quad \quad &\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial L'}{\partial \tau }}={\frac {\partial Y'}{\partial \zeta }}-{\frac {\partial Z'}{\partial \eta }},\\\\\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial Y'}{\partial \tau }}={\frac {\partial L'}{\partial \zeta }}-{\frac {\partial N'}{\partial \xi }},&\quad \quad &\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial M'}{\partial \tau }}={\frac {\partial Z'}{\partial \xi }}-{\frac {\partial X'}{\partial \zeta }},\\\\\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial Z'}{\partial \tau }}={\frac {\partial M'}{\partial \xi }}-{\frac {\partial L'}{\partial \eta }},&\quad \quad &\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial N'}{\partial \tau }}={\frac {\partial X'}{\partial \eta }}-{\frac {\partial Y'}{\partial \xi }}\end{array}}$

명백히, $k$ 계에 대한 두 방정식계는 $K$ 계에 대한 맥스웰-헤르츠 방정식과 동등하므로 동일한 것을 표현해야 한다. 또한, 두 계의 방정식들은 벡터들을 나타내는 기호를 제외하면 서로 일치하므로, 방정식계 속 대응하는 위치의 함수들은 상정된 $v$-의존 인수 $\psi (v)$까지는 일치해야 하며, 이 인수는 한 방정식계의 모든 함수에 공통적이고 $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,\,\tau$에 독립적이다. 따라서 다음 방정식이 유효할 것이다:

${\begin{array}{ll}\displaystyle X'=\psi (v)X,&\quad \quad &L'=\psi (v)L,\\\\\displaystyle Y'=\psi (v)\beta \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),&\quad \quad &\displaystyle M'=\psi (v)\beta \left(M+{\frac {v}{V}}Z\right),\\\\\displaystyle Z'=\psi (v)\beta \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right),&\quad \quad &\displaystyle N'=\psi (v)\beta \left(N-{\frac {v}{V}}Y\right)\end{array}}$

이제 이 방정식계의 역을 취하되, 첫번째로는 방금 얻은 방정식을 풀고, 두번째로는 방정식을 속도 $-v$로 특정되는 역변환($k$에서 $K$로)에 적용한다. 그렇게 얻은 두 방정식계가 서로 같아야 한다는 것을 고려하면

$\psi (v)\cdot \psi (-v)=1$

이다. 더 나아가, 대칭성의 이유로^[4]

$\psi (v)=\psi (-v);$

를 얻고, 따라서

$\psi (v)=1$

이며 우리의 방정식은 다음 형태를 갖는다.

${\begin{array}{ll}\displaystyle X'=X,&\quad \quad &L'=L,\\\\\displaystyle Y'=\beta \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),&\quad \quad &\displaystyle M'=\beta \left(M+{\frac {v}{V}}Z\right),\\\\\displaystyle Z'=\beta \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right),&\quad \quad &\displaystyle N'=\beta \left(N-{\frac {v}{V}}Y\right)\end{array}}$

이 방정식을 해석하기 위해서, 다음을 추가한다: 점모양의 전하량을 생각하여, 정지계 $K$에서 측정했을 때 크기가 "$1$"이라고 하자. 즉, 정지계에 정지해 있을 때, $1{\text{cm}}$만큼 떨어진 동일한 양의 전하에 $1\,{\text{dyn}}$의 힘을 가한다고 하자. 상대성 원리에 따르면 이 전기적 질량은 운동계에서 측정했을 때에도 크기가 $1$이어야 한다. 이 전하가 정지계에 대하여 정지해 있다면, 벡터 $(X,Y,Z)$는 정의에 의해 전하에 가해지는 힘과 같다. 만약 이 전하가 운동계에 대하여 (적어도 고려하는 순간에는) 정지해 있다면, 전하에 가해지는 힘은, 운동계에서 측정했을 때 벡터 $X',Y',Z'$과 같을 것이다. 따라서, 상기 방정식의 첫 세 개는 다음 두 가지 방식의 언어적 표현이 가능하다:

1. 점모양의 단위 전기 홀극이 전자기장 속에서 운동하고 있을 경우, 여기에는 전기력에 더하여 "기전력"이 작용하며, 이는 $v/V$의 $2$차항 이상을 무시할 경우 단위 홀극의 운동 속도와 자기장의 벡터곱을 광속으로 나눈 것과 같다. (기존 방식의 설명)

2. 점모양의 단위 전기 홀극이 전자기장 속에서 운동하고 있을 경우, 여기에 작용하는 힘은 홀극 위치에 놓여 있으며, 단위 전기 홀극에 대하여 정지한 좌표계로 장을 변환시켜 얻는 전기력과 같다. (새로운 방식의 설명)

동일한 명제가 "기자력"에도 적용된다. 우리는 구축된 이론에서 기전력이 단지 보조적인 개념의 역할만을 수행한다는 것을 알 수 있는데, 이러한 도입은 전기력과 자기력이 좌표계의 운동 상태에 독립적인 존재가 아니라는 상황에 의한 것이다.

또한 도입부에서 언급된, 자석과 도체의 상대적인 운동을 고려할 때의 비대칭이 사라짐이 분명하다. 전기동역학적 기전력의 역할(단극 발전기)에 관한 질문 또한 무의미해진다.

§7. 도플러 원리와 광행차의 이론.

$K$계에서 원점으로부터 매우 멀리 떨어진 곳에 전기동역학적 파동의 근원이, 좌표 원점을 포함한 공간 상의 영역에서 충분한 근사로 다음 방정식으로 주어진다고 하자.

${\begin{aligned}&X=X_{0}\sin \phi ,\quad L=L_{0}\sin \phi ,\\\\&Y=Y_{0}\sin \phi ,\quad M=M_{0}\sin \phi ,\quad \quad \phi =\omega \left(t-{\frac {ax+by+cz}{V}}\right)\\\\&Z=Z_{0}\sin \phi ,\quad N=N_{0}\sin \phi \end{aligned}}$

여기에서 $(X_{0},Y_{0},Z_{0})$과 $(L_{0},M_{0},N_{0})$은 파동열(波動列, wave train)의 진폭을 결정하는 벡터이고, $a,b,c$는 파동 법선[wave normal]의 방향코사인이다.

여기에서 운동계 $k$에 정지한 관찰자가 관측했을 때 무엇이 이들 파동을 특징짓는지 생각해보자. §6에서 구한 전기력과 자기력의 변환 방정식과 §3에서 구한 좌표와 시간의 변환 방정식을 적용하면, 즉시

${\begin{aligned}X'&=X_{0}\sin \phi ',\\\\Y'&=\beta \left(Y_{0}-{\frac {v}{V}}N_{0}\right)\sin \phi ',\\\\Z'&=\beta \left(Z_{0}+{\frac {v}{V}}M_{0}\right)\sin \phi ',\end{aligned}}$ $\quad \quad {\begin{aligned}L'&=L_{0}\sin \phi ',\\\\M'&=\beta \left(M_{0}+{\frac {v}{V}}Z_{0}\right)\sin \phi ',\\\\N'&=\beta \left(N_{0}-{\frac {v}{V}}Y_{0}\right)\sin \phi ',\end{aligned}}$

$\phi '=\omega '\left(t-{\frac {a'\xi +b'\eta +c'\zeta }{V}}\right)$

를 얻으며, 여기에서

${\begin{aligned}\displaystyle \omega '&=\omega \beta \left(1-a{\frac {v}{V}}\right)\\\\a'&={\frac {\displaystyle a-{\frac {v}{V}}}{\displaystyle 1-a{\frac {v}{V}}}},\\\\b'&={\frac {b}{\displaystyle \beta \left(1-a{\frac {v}{V}}\right)}},\\\\c'&={\frac {c}{\displaystyle \beta \left(1-a{\frac {v}{V}}\right)}}\end{aligned}}$

라 두었다.

$\omega '$에 관한 방정식으로부터 만약 관찰자가 무한히 멀리 떨어진 진동수 $\nu$의 광원에 대하여 $v$의 속도로 운동하여 "광원 - 관찰자"의 연결선이 관찰자의 속도(광원에 대하여 정지한 좌표계 기준)와 $\varphi$의 각도를 이룬다면, 관찰자가 받아들이는 빛의 진동수 $\nu '$은 다음 방정식으로 주어진다.

$\nu '=\nu \,{\frac {\displaystyle 1-\cos \varphi {\frac {v}{V}}}{\displaystyle {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}}$

이는 임의의 속도에 대한 도플러 원리이다. $\varphi =0$에 대하여 방정식은 다음과 같은 간단한 형태를 가진다.

$\nu '=\nu {\sqrt {\frac {\displaystyle 1-{\frac {v}{V}}}{\displaystyle 1+{\frac {v}{V}}}}}$

우리는 기존 개념과는 다르게, $v=-V$일 때 $\nu =\infty$임을 알 수 있다.

$\varphi '$이 운동계에서의 파동 법선(광선의 방향)과 "광원 - 관찰자"의 연결선 사이의 각도를 나타낼 경우, $\varphi '$에 관한 방정식은 다음 형태를 갖는다.

$\cos \varphi '={\frac {\displaystyle \cos \varphi -{\frac {v}{V}}}{\displaystyle 1-{\frac {v}{V}}\cos \varphi }}$

이 방정식은 광행차의 법칙을 가장 일반적인 형태로 표현한다. 만약 $\varphi =\pi /2$이면, 방정식은 다음의 간단한 형태를 갖는다.

$\cos \varphi '=-{\frac {v}{V}}$

이제, 운동계에서 나타나는 파동의 진폭을 구하는 일이 남았다. $A$와 $A'$이 각각 정지계와 운동계에서의 전기력 혹은 자기력을 나타낸다면

$A'^{2}=A^{2}{\frac {\displaystyle \left(1-{\frac {v}{V}}\cos \varphi \right)^{2}}{\displaystyle 1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}$

을 얻으며, $\varphi =0$일 경우 이는

$A'^{2}=A^{2}{\frac {\displaystyle 1-{\frac {v}{V}}}{\displaystyle 1+{\frac {v}{V}}}}$

로 간료화된다.

위에서 유도된 방정식으로부터, 광원에 속도 $V$로 접근하는 관찰자에게는 이 광원이 무한대의 강도를 갖는 것으로 나타나게 된다.

§8. 광선의 에너지의 변환. 완전 거울에 가해지는 복사압의 이론.

$A^{2}/8\pi$이 단위 부피 당 빛의 에너지와 같으므로, 상대성 원리에 따라서 $A'^{2}/8\pi$을 운동계에서의 빛에너지로 간주해야 한다. 따라서 $A'^{2}/A^{2}$은 주어진 빛 복합체에 대하여, 그 부피가 $K$에서 측정한 것과 $k$에서 측정한 것이 서로 같을 경우, "운동 상태에서 측정한" 에너지와 "정지 상태에서 측정한" 에너지의 비율이 될 것이다. 그러나, 이는 올바르지 않다. $a,b,c$가 정지계에서 빛의 파동법선의 방향코사인이면, 구면파의 면적소

$(x-Vat)^{2}+(y-Vbt)^{2}+(z-Vct)^{2}=R^{2}$

은 광속으로 움직이고, 아무런 에너지도 통과하지 않는다. 따라서, 우리는 이 표면이 영구히 빛 복합체를 감싼다고 말할 것이다. 우리는 $k$에서 관측했을 때 이 표면이 감싸는 에너지의 양을 구하고 싶다. 즉, $k$에 대한 빛 복합체의 에너지를 구해야 한다.

운동계에서 관측했을 때, 구면체는 타원체가 되며 시각 $\tau =0$에서 그 방정식은

$\left(\beta \xi -a\beta {\frac {v}{V}}\xi \right)^{2}+\left(\eta -b\beta {\frac {v}{V}}\xi \right)^{2}+\left(\zeta -c\beta {\frac {v}{V}}\xi \right)^{2}=R^{2}$

이다. $S$가 구면의 부피를, $S'$이 타원체의 부피를 나타낼 경우, 간단한 계산을 거치면

${\frac {S'}{S}}={\frac {\displaystyle {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}{\displaystyle 1-{\frac {v}{V}}\cos \varphi }}$

을 얻는다. 문제의 표면에 담겨 있는 빛의 에너지를 정지계에서 측정했을 때 $E$, 운동계에서 측정했을 때 $E'$으로 표기하면,

${\frac {E'}{E}}={\frac {\displaystyle {\frac {A'^{2}}{8\pi }}S'}{\displaystyle {\frac {A^{2}}{8\pi }}S}}={\frac {\displaystyle 1-{\frac {v}{V}}\cos \varphi }{\displaystyle {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}}$

를 얻으며, $\varphi =0$일 때 이는 더 간단한 공식

${\frac {E'}{E}}={\sqrt {\frac {\displaystyle 1-{\frac {v}{V}}}{\displaystyle 1+{\frac {v}{V}}}}}$

로 줄어든다.

빛 복합체의 에너지와 진동수가 관찰자의 운동 상태에 대하여 동일한 규칙에 따라 달라진다는 것은 참고할 만하다.

좌표 평면 $\xi =0$이 완전 반사 평면으로, 상단에서 고려한 평면파가 이곳에서 반사된다고 하자. 우리는 반사 평면에 가해지는 광압과, 반사 뒤 빛의 방향, 진동수, 강도를 구하고 싶다.

사건의 빛이 ($K$계에 대한) 다음의 양 $A,\cos \varphi ,\nu$로 결정된다고 하자. $k$에서 관찰했을 때, 이들에 대응되는 양은

${\begin{aligned}A'&=A{\frac {\displaystyle 1-{\frac {v}{V}}\cos \varphi }{\displaystyle {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}},\\\\\cos \varphi '&={\frac {\displaystyle \cos \varphi -{\frac {v}{V}}}{\displaystyle 1-{\frac {v}{V}}\cos \varphi }},\\\\\displaystyle \nu '&=\nu {\frac {\displaystyle 1-{\frac {v}{V}}\cos \varphi }{\displaystyle {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}}\end{aligned}}$

과 같다. 이 과정을 $k$계에 적용하면, 반사된 빛에 대하여

${\begin{aligned}A''&=A',\\\\\cos \varphi ''&=-\cos \varphi ',\\\\\nu ''&=\nu '\end{aligned}}$

을 얻는다. 마지막으로, 정지계 $K$로 도로 변환시키면, 반사된 빛에 대하여

${\begin{aligned}A'''&=A''{\frac {\displaystyle 1+{\frac {v}{V}}\cos \varphi ''}{\displaystyle {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}}=A{\frac {\displaystyle 1-2{\frac {v}{V}}\cos \varphi +\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}{1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}},\\\\\cos \varphi '''&={\frac {\displaystyle \cos \varphi ''+{\frac {v}{V}}}{\displaystyle 1+{\frac {v}{V}}\cos \varphi ''}}=-{\frac {\displaystyle \left(1+\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}\right)\cos \varphi -2{\frac {v}{V}}}{\displaystyle 1-2{\frac {v}{V}}\cos \varphi +\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}},\\\\\nu '''&=\nu ''{\frac {\displaystyle 1+{\frac {v}{V}}\cos \varphi ''}{\displaystyle {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}}=\nu {\frac {\displaystyle 1-2{\frac {v}{V}}\cos \varphi +\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}{\displaystyle 1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}\end{aligned}}$

을 얻는다.

(정지계에서 측정한) 거울의 단위 표면에 단위 시간 당 부딪치는 에너지는 명백히 $A^{2}/8\pi (V\cos \varphi -v)$이다. 단위 시간 당 거울의 단위 표면을 떠나는 에너지는 $A'''^{2}/8\pi (-V\cos \varphi '''+v)$이다. 에너지 원리에 따르면, 두 표현식의 차이는 광압이 단위 시간 당 한 일이다. 이 일을 빛의 압력 $P$에 대하여 $P\cdot v$와 같도록 하면,

$P=2{\frac {A^{2}}{8\pi }}{\frac {\displaystyle \left(\cos \varphi -{\frac {v}{V}}\right)^{2}}{\displaystyle 1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}$

을 얻는다. $1$차 근사로, 우리는 경험이나 다른 이론들과 일치하는 결과인

$P=2{\frac {A^{2}}{8\pi }}\cos ^{2}\varphi$

를 얻게 된다.

운동체의 광학에 관한 모든 문제는 이곳에서 사용한 방법으로 해결될 수 있다. 요지는 운동하는 물체의 영향을 받는 빛의 전기력과 자기력이, 그 물체에 대해 정지한 좌표계에 의해 변환되었다는 것이다. 이는 운동체의 광학에 관한 모든 문제를 정지한 물체의 광학에 관한 문제들로 전환시킨다.

§9. 대류 전류를 고려했을 때의 맥스웰-헤르츠 방정식의 변환.

방정식

${\begin{array}{cc}\displaystyle {\frac {1}{V}}\left\{u_{x}\varrho +{\frac {\partial X}{\partial t}}\right\}={\frac {\partial N}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}},&\quad \quad &\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial L}{\partial t}}={\frac {\partial Y}{\partial z}}-{\frac {\partial Z}{\partial y}},\\\\\displaystyle {\frac {1}{V}}\left\{u_{y}\varrho +{\frac {\partial Y}{\partial t}}\right\}={\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial N}{\partial x}},&\quad \quad &\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial M}{\partial t}}={\frac {\partial Z}{\partial x}}-{\frac {\partial X}{\partial z}},\\\\\displaystyle {\frac {1}{V}}\left\{u_{z}\varrho +{\frac {\partial Z}{\partial t}}\right\}={\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}},&\quad \quad &\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial N}{\partial t}}={\frac {\partial X}{\partial y}}-{\frac {\partial Y}{\partial x}}\end{array}}$

에서부터 출발하자. 여기에서

$\varrho ={\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}$

는 전하 밀도의 $4\pi$배를, $(u_{x},u_{y},u_{z})$는 전하의 속도 벡터를 나타낸다. 전하를 영구적으로 작은 강체에 묶여 있다고 볼 경우(이온, 전자), 이 방정식들은 로런츠의 운동체에 관한 전기동역학 및 광학의 전자기적 기초를 구성한다.

§5와 §3에서 제시된 변환 방정식을 사용하여 $K$계에서 성립할 이 방정식들을 $k$계로 변환하면, 다음 방정식을 얻는다.

${\begin{array}{cc}\displaystyle {\frac {1}{V}}\left\{u_{\xi }\varrho '+{\frac {\partial X'}{\partial \tau }}\right\}={\frac {\partial N'}{\partial \eta }}-{\frac {\partial M'}{\partial \zeta }},&\quad \quad &\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial L'}{\partial \tau }}={\frac {\partial Y'}{\partial \zeta }}-{\frac {\partial Z'}{\partial \eta }},\\\\\displaystyle {\frac {1}{V}}\left\{u_{\eta }\varrho '+{\frac {\partial Y'}{\partial \tau }}\right\}={\frac {\partial L'}{\partial \zeta }}-{\frac {\partial N'}{\partial \xi }},&\quad \quad &\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial M'}{\partial \tau }}={\frac {\partial Z'}{\partial \xi }}-{\frac {\partial X'}{\partial \zeta }},\\\\\displaystyle {\frac {1}{V}}\left\{u_{\zeta }\varrho '+{\frac {\partial Z'}{\partial \tau }}\right\}={\frac {\partial M'}{\partial \xi }}-{\frac {\partial L'}{\partial \eta }},&\quad \quad &\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {\partial N'}{\partial \tau }}={\frac {\partial X'}{\partial \eta }}-{\frac {\partial Y'}{\partial \xi }}\end{array}}$

여기에서

${\begin{aligned}{\frac {u_{x}-v}{\displaystyle 1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}}}&=u_{\xi },\\\\{\frac {u_{y}}{\displaystyle \beta \left(1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}\right)}}&=u_{\eta },\quad \quad \varrho '={\frac {\partial X'}{\partial \xi }}+{\frac {\partial Y'}{\partial \eta }}+{\frac {\partial Z'}{\partial \zeta }}=\beta \left(1-{\frac {vu_{x}}{V^{2}}}\right)\varrho \\\\\displaystyle {\frac {u_{z}}{\displaystyle \beta \left(1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}\right)}}&=u_{\zeta }\end{aligned}}$

이다. (속도의 덧셈 규칙 (§5)에 따라) $(u_{\xi },u_{\eta },u_{\zeta })$는 사실 $k$계에서 측정된 전하의 속도이므로, 우리는 우리의 운동학적 원리를 기반으로 하여, 로런츠의 운동체에 관한 전기동역학 이론의 전기동역학적 기초가 상대성 원리와 부합한다는 것을 보였다.

여기에 우리가 유도한 방정식으로부터 간단히 유도되는 다음의 중요한 명제를 간략히 추가하고자 한다: 하전된 물체가 공간 상에서 임의적으로 운동하되 물체와 함께 움직이는 좌표계에서 관측했을 때 전하의 변화가 없다면, "정지한" 좌표계 $K$에서 관측했을 때에도 전하는 일정한 상수로 남게 된다.

§10. (느리게 가속하는) 전자의 동역학.

한 전자기장에서 $\varepsilon$의 전하량을 갖는 점입자(앞으로 "전자"라 부른다.)가 운동하고 있다고 하자; 그 운동 법칙에 관해서는 다음만 가정한다:

일정 시간 동안 전자가 정지해 있다면, 다음 시간 요소에서 그 운동은 (전자가 느리게 운동하는 한) 다음 방정식에 따라 일어난다.

${\begin{aligned}\mu {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=\varepsilon X,\\\\\mu {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\varepsilon Y,\\\\\mu {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&=\varepsilon Z\end{aligned}}$

여기에서 $x,y,z$는 전자의 좌표를, $\mu$는 질량을 나타낸다.

또한, 어떤 주어진 시기 동안의 전자의 속도가 $v$라고 하자. 우리는 다음 시간 요소에 전자가 운동하는 규칙을 찾고자 한다.

고려의 일반성에 영향을 주지 않고, 우리는 우리가 관심을 두는 순간에, 전자는 좌표 원점에 위치해 있고, 좌표계 $K$의 $X$축을 따라 속도 $v$로 움직이고 있다고 할 수 있으며, 이와 같이 가정하자. 그러면 그 순간에 ($t=0$), 전자는 $X$축에 평행하게 일정한 속도 $v$로 움직이는 좌표계 $k$에 대하여 정지해 있다.

위의 가정과 상대성 원리로부터, $k$계에서 바라보았을 때 전자는 바로 다음 순간에 (작은 $t$ 값에 대하여) 다음 방정식에 따라 움직일 것은 분명하다.

${\begin{aligned}\mu {\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}}&=\varepsilon X',\\\\\mu {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}&=\varepsilon Y',\\\\\mu {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}&=\varepsilon Z'\end{aligned}}$

여기에서 기호 $\xi ,\eta ,\zeta ,\tau ,X',Y',Z'$은 $k$계에 관한 것이다. 여기에 $t=x=y=0$일 때 $\tau =\xi =\eta =\zeta =0$이어야 한다고 추가로 규정하면 §3과 §6의 변환 방정식이 유효할 것이며, 다음을 얻게 된다.

${\begin{array}{ll}&\tau =\displaystyle \beta \left(t-{\frac {v}{V^{2}}}x\right),&\\\\&\xi =\beta (x-vt),&\quad X'=X,\\\\&\eta =y,&\quad Y'=\displaystyle \beta \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\\\\&\zeta =z,&\quad Z'=\displaystyle \beta \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)\end{array}}$

이 방정식들의 도움으로 위 운동 방정식들을 $k$계에서 $K$계로 옮기면 다음을 얻는다.

$(A)$

${\begin{cases}\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {\varepsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta ^{3}}}X,\\\\\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\varepsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\\\\\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\varepsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)\end{cases}}$

통상적인 접근법을 따라서, 이제 운동하는 전자의 "세로" 및 "가로" 질량을 결정하고자 한다. 방정식 $(A)$를 다음 형태로 쓴다.

${\begin{aligned}\mu \beta ^{3}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=\varepsilon X=\varepsilon X',\\\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\varepsilon \beta \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right)=\varepsilon Y',\\\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&=\varepsilon \beta \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)=\varepsilon Z'\end{aligned}}$

여기에 먼저, $\varepsilon X',\varepsilon Y',\varepsilon Z'$은 이 순간 전자와 함께 같은 속도로 움직이는 계에서 관측했을 때 전자에 작용하는 폰더모티브 힘의 성분임을 주목한다. (이 힘은 예를 들어, 마지막에 언급된 계에 정지한 용수철 저울을 이용해 측정할 수 있다.) 이 힘을 단순히 "전자에 작용하는 힘"이라 부르고, 방정식

(질량의 값) $\times$ (가속도의 값) $=$ (힘의 값)

을 유지한 뒤 추가로 가속도를 정지계 $K$에서 측정했다고 규정하면, 위 방정식으로부터

세로 질량 $={\frac {\mu }{\displaystyle \left({\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}\right)^{3}}},$

가로 질량 $={\frac {\mu }{\displaystyle 1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}\quad \quad \quad$

를 얻는다. 물론, 힘과 가속도를 다르게 정의하면 다른 질량값을 얻게 될 것이다. 이는 우리가 전자의 운동에 관한 서로 다른 이론들을 비교할 때 매우 조심히 접근해야 함을 보여준다.

질량에 관한 이 결과들은 질량이 있는 물질점에도 성립한다는 것에 주목한다. 이는 질량이 있는 물질점은 임의로 작은 전하를 추가함으로써 (우리 표현의) 전자로 만들 수 있기 때문이다.

이제 전자의 운동 에너지를 구해보자. 전자가 $K$계의 원점에서부터 초기 속도 $0$으로 출발하여 정전기력 $X$의 영향을 받아 $X$축을 따라 지속적으로 운동한다면, 정전기장에서 얻은 에너지는 $\int \varepsilon Xdx$의 값을 가짐이 분명하다. 전자는 느리게 가속한다는 가정 때문에 복사형태로는 에너지를 방출하지 않으므로, 정전기장으로부터 얻은 에너지는 반드시 전자의 운동 에너지 $W$와 일치해야 한다. $(A)$의 첫번째 방정식이 고려하는 운동 과정 전체에서 성립함을 상기하면, 우리는

$W=\int \varepsilon Xdx=\mu \int _{0}^{v}\beta ^{3}vdv=\mu V^{2}\left\{{\frac {1}{\displaystyle {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}}-1\right\}$

를 얻게 된다.

따라서, $W$는 $v=V$일 때 무한히 커지게 된다. 앞선 결과들에서처럼, 초광속은 가능하지 않다.

이 운동 방정식의 표현식 또한 위에서 제시한 논리에 따라 질량이 있는 것에도 유효해야 한다.

이제, 방정식계 $(A)$로부터 얻어지고 실험적으로 접근 가능한 전자의 운동에 관한 성질들을 열거하고자 한다.

1. 방정식계 $(A)$의 두번째 방정식에 의해 전기력 $Y$와 자기력 $N$은, $Y=N\cdot v/V$일 경우 속도 $v$로 운동하는 전자에 같은 세기의 편향 효과를 갖는다. 따라서 우리의 이론에 따라, 우리는 자기 편향 $A_{m}$과 전기 편향 $A_{e}$의 비율로부터 다음 법칙

${\frac {A_{m}}{A_{e}}}={\frac {v}{V}}$

를 적용함으로써 임의의 속도를 갖는 전자의 속도를 결정할 수 있다.

이 관계는 실험적으로 확인할 수 있는데, 전자의 속도 또한 예를 들면 빠르게 진동하는 전기장과 자기장을 이용하여 직접적으로 측정할 수 있기 때문이다.

2. 전자에 관한 운동 에너지의 유도식에 의해, 전자가 겪는 퍼텐셜 변화와 그로부터 얻은 속도 $v$는 다음 방정식으로 연결되어 있어야 한다.

$P=\int Xdx={\frac {\mu }{\varepsilon }}V^{2}\left\{{\frac {1}{\displaystyle {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}}-1\right\}$

3. 전자의 속도에 수직으로 작용하는 자기력 $N$이 (유일한 편향력으로) 주어졌을 때 경로의 곡률 반지름 $R$을 계산해보자. $(A)$의 두번째 방정식으로부터

$-{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {v^{2}}{R}}={\frac {\varepsilon }{\mu }}{\frac {v}{V}}N\cdot {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}$

또는

$R=V^{2}{\frac {\mu }{\varepsilon }}\cdot {\frac {\displaystyle {\frac {v}{V}}}{\displaystyle {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}}\cdot {\frac {1}{N}}$

을 얻는다.

이 세 관계식은 여기에서 제시된 이론에 따라 전자가 지켜야 할 운동 규칙을 온전히 표현한다.

끝으로, 내 친구이자 동료인 M. 베소가 이곳에서 논의된 문제에 대하여 내가 연구하는 동안 내내 곁을 지켜주었으며, 또한 수많은 값진 제안에 있어서 그에게 빚을 졌음을 언급하고 싶다.

베른, 1905년 6월. (1905년 6월 30일 제출함.)

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1. 여기에서는 (거의) 같은 위치에서 일어나는 두 사건의 동시성 개념에 내재된 부정확성은 논의하지 않을 것이며 이는 추상의 힘으로 극복해야 한다.
2. 여기에서 "시간"은 "정지계의 시간" 및 "문제의 장소에 위치한 운동하는 시계의 바늘 위치"를 의미한다.
3. 즉, 정지 상태에서 조사 시 구의 모양을 지니는 물체.
4. 만약, 예를 들어 $X=Y=Z=L=M=0$이고 $N\neq 0$일 경우 대칭성의 이유로 $v$의 부호만을 바꿨을 때 $Y'$ 또한 값은 그대로인 채 부호가 바뀌어야 한다는 것이 분명하다.